Moving genomsnittet hamming

Forskaren och ingenjörsguiden till digital signalbehandling av Steven W. Smith, Ph. D. Kapitel 9: DFT-spektralanalys av signaler Det är mycket vanligt att informationen kodas i de sinusoider som bildar en signal. Detta gäller för naturligt förekommande signaler, liksom de som har skapats av människor. Många saker oscillerar i vårt universum. Till exempel är tal ett resultat av vibrationer hos de mänskliga vokalbanden och planeterna ändrar sin ljusstyrka när de roterar på sina axlar och vrider sig kring varandra. Propellrar genererar periodisk förskjutning av vattnet och så vidare. Formen hos tidsdomänvågformen är inte viktig i dessa signaler, varvid nyckelinformationen är i frekvensen. fas och amplitud av komponent sinusoiderna. DFT används för att extrahera denna information. Ett exempel visar hur det här fungerar. Antag att vi vill undersöka ljuden som reser genom havet. Till att börja med placeras en mikrofon i vattnet och den resulterande elektroniska signalen förstärks till en rimlig nivå, säg några volt. Ett analogt lågpassfilter används sedan för att ta bort alla frekvenser över 80 Hz, så att signalen kan digitaliseras vid 160 prov per sekund. Efter förvärv och lagring av flera tusen prover, vad nästa Det första är att helt enkelt titta på data. Figur 9-1a visar 256 prover från vårt imaginära experiment. Allt som kan ses är en bullrig vågform som förmedlar liten information till det mänskliga ögat. Av skäl som förklaras inom kort är nästa steg att multiplicera denna signal med en jämn kurva som heter ett Hamming-fönster. som visas i (b). (Kapitel 16 ger ekvationerna för Hamming och andra fönster se Eqs. 16-1 och 16-2 och Fig. 16-2a). Detta resulterar i en 256 punktsignal där proverna nära ändarna har reducerats i amplitud, såsom visas i (c). Om du tar DFT och omvandlar till polär notering, resulterar det i 129 punkt frekvensspektrum i (d). Tyvärr ser det också ut som en bullriga röra. Detta beror på att det inte finns tillräckligt med information i de ursprungliga 256 punkterna för att få en välskött kurva. Att använda en längre DFT gör inget för att hjälpa till med detta problem. Om exempelvis en 2048-punkts DFT används, blir frekvensspektrumet 1025 prover långa. Trots att de ursprungliga 2048 poängen innehåller mer information späds det större antalet prover i spektret informationen med samma faktor. Längre DFT-enheter ger bättre frekvensupplösning, men samma ljudnivå. Svaret är att använda mer av den ursprungliga signalen på ett sätt som inte ökar antalet punkter i frekvensspektret. Detta kan göras genom att bryta ingångssignalen till många 256 punktersegment. Var och en av dessa segment multipliceras med Hamming-fönstret, går igenom en 256-punkts DFT och omvandlas till polär notering. De resulterande frekvensspektra medelvärdes sedan för att bilda ett enda 129-punkts frekvensspektrum. Figur (e) visar ett exempel på medelvärdet 100 av frekvensspektra som typifieras av (d). Förbättringen är uppenbar att bruset har reducerats till en nivå som gör att intressanta egenskaper hos signalen kan observeras. Endast magneten hos frekvensdomänen är medelvärdes på detta sätt, fasen kasseras vanligtvis eftersom den inte innehåller användbar information. Det slumpmässiga bruset minskar i proportion till kvadratroten av antalet segment. Medan 100 segment är typiska kan vissa applikationer ha genomsnittliga miljoner segment för att få fram svaga funktioner. Det finns också en andra metod för att minska spektralstörningen. Börja med att ta en mycket lång DFT, säg 16.384 poäng. Det resulterande frekvensspektrumet är högupplösning (8193 prover), men mycket bullrigt. Ett lågpass digitalt filter används sedan för att jämna ut spektret, vilket minskar bruset på bekostnad av upplösningen. Till exempel kan det enklaste digitala filtret genomsnittliga 64 intilliggande prover i det ursprungliga spektrumet för att producera varje prov i det filtrerade spektret. Genom att genomgå beräkningarna ger detta ungefär samma brus och upplösning som den första metoden, där de 16.384 poängen skulle brytas in i 64 segment med 256 punkter vardera. Vilken metod ska du använda Den första metoden är lättare, eftersom det digitala filtret inte behövs. Den andra metoden har potential för bättre prestanda, eftersom det digitala filtret kan skräddarsys för att optimera avvägningen mellan brus och upplösning. Detta förbättrade prestanda är dock sällan värt besväret. Detta beror på att både brus och upplösning kan förbättras genom att använda mer data från ingångssignalen. Tänk dig att förlora den förvärvade data till 10 000 segment på 16 384 prover vardera. Detta resulterande frekvensspektrum är högupplösning (8193 punkter) och lågt brus (10 000 medelvärden). Problemlösad Av den anledningen kommer vi bara att titta på den genomsnittliga segmentmetoden i denna diskussion. Figur 9-2 visar ett exempel spektrum från vår undersöksmikrofon, som illustrerar de funktioner som vanligen förekommer i frekvensspektra för förvärvade signaler. Ignorera de skarpa toppar i ett ögonblick. Mellan 10 och 70 hertz består signalen av en relativt platt region. Detta kallas vitt brus eftersom det innehåller en lika stor mängd av alla frekvenser, samma som vitt ljus. Det beror på bruset på tidsdomänvågformen som är okorrelerad från prov till prov. Det vill säga att veta att brusvärdet som finns närvarande på något prov ger ingen information om det bullervärde som finns på något annat prov. Till exempel producerar slumpmässig rörelse av elektroner i elektroniska kretsar vitt brus. Som ett mer välbekant exempel är ljudet av vattensprutan som slår på duschgolvet vitt brus. Det vita bruset som visas i fig 9-2 kan härröra från någon av flera källor, inklusive den analoga elektroniken eller havet självt. Över 70 hertz minskar det vita bruset snabbt i amplitud. Detta är ett resultat av avrullningen av antialiasfiltret. Ett idealfilter skulle passera alla frekvenser under 80 hertz och blockera alla frekvenser ovan. I praktiken är det inte möjligt att skära en perfekt skarpa cutoff, och du borde förvänta dig att se denna gradvisa droppe. Om du inte misstänker att ett aliasingproblem är närvarande. Under cirka 10 hertz ökar bruset snabbt på grund av en nyfikenhet som kallas 1f brus (ett-över-f-ljud). 1f ljud är ett mysterium. Den har uppmätts i mycket olika system, såsom trafikdensitet på motorvägar och elektroniskt brus i transistorer. Det kan antagligen mätas i alla system, om du ser tillräckligt låg i frekvensen. Trots det breda förekomsten har en allmän teori och förståelse av 1f-bruset utlöst forskare. Orsaken till detta ljud kan identifieras i vissa specifika system men det här svarar inte frågan om varför 1f-bruset är överallt. För vanlig analog elektronik och de flesta fysiska system uppstår övergången mellan vitt brus och 1f brus mellan ca 1 och 100 hertz. Nu kommer vi till de skarpa toppar i figur 9-2. Det enklaste att förklara är 60 hertz, ett resultat av elektromagnetisk störning från kommersiell elektrisk kraft. Förvänta dig också att se mindre toppar vid multiplar av denna frekvens (120, 180, 240 hertz, etc.) eftersom kraftledningsvågformen inte är en perfekt sinusformad. Det är också vanligt att hitta störande toppar mellan 25-40 kHz, en favorit för konstruktörer som byter strömförsörjning. Närliggande radio - och tv-stationer producerar störande toppar i megahertzområdet. Lågfrekvenstoppar kan orsakas av komponenter i systemet som vibrerar vid skakning. Detta kallas mikrofonics. och skapar typiskt toppar på 10 till 100 hertz. Nu kommer vi till de faktiska signalerna. Det finns en stark topp på 13 Hertz, med svagare toppar vid 26 och 39 Hertz. Som diskuteras i nästa kapitel är detta frekvensspektrumet för en nonsinusoid periodisk vågform. Toppen vid 13 hertz kallas grundfrekvensen, medan topparna vid 26 och 39 hertz kallas respektive andra respektive tredje harmoniska. Du skulle också förvänta dig att hitta toppar i andra multiplar av 13 hertz, som 52, 65, 78 Hertz, etc. Du ser inte dessa i Fig 9-2 eftersom de är begravda i det vita bruset. Denna 13 hertz-signalen kan genereras, exempelvis av en submariness trebladig propellern som vrider vid 4,33 varv per sekund. Detta är grunden för passiv sonar, som identifierar undervattensljud med deras frekvens och harmoniska innehåll. Antag att det finns toppar mycket nära varandra, såsom visas i fig 9-3. Det finns två faktorer som begränsar den frekvensupplösning som kan erhållas, det vill säga hur nära topparna kan vara utan att slå samman i en enskild enhet. Den första faktorn är längden på DFT. Frekvensspektrumet som produceras av en N-punkt-DFT består av N2l-prover lika fördelade mellan noll och hälften av samplingsfrekvensen. För att separera två tätt placerade frekvenser måste provavståndet vara mindre än avståndet mellan de två toppar. Till exempel är en 512-punkts DFT tillräcklig för att separera topparna i figur 9-3, medan en 128-punkts DFT inte är. Den andra faktorbegränsande upplösningen är mer subtil. Föreställ dig en signal som skapas genom att lägga till två sinusvågor med endast en liten skillnad i deras frekvenser. Över ett kort segment av denna signal, säg några perioder, kommer vågformen att se ut som en enda sinusvåg. Ju närmare frekvenserna, ju längre segmentet måste vara att dra slutsatsen att mer än en frekvens är närvarande. Med andra ord begränsar signalens längd frekvensupplösningen. Detta skiljer sig från den första faktorn, eftersom längden på ingångssignalen inte behöver vara densamma som längden på DFT. Till exempel kan en 256-punkts signal vara vadderad med nollor för att göra den 2048 poäng lång. Med en 2048 punkt DFT produceras ett frekvensspektrum med 1025 prover. De tillförda nollorna ändrar inte spektrumets form, de ger endast fler prover i frekvensdomänen. Trots detta mycket snäva provtagning skulle möjligheten att separera tätt åtskilda toppar vara bara lite bättre än att använda en 256-punkts DFT. När DFT är lika lång som ingångssignalen är upplösningen begränsad ungefär av dessa två faktorer. Vi kommer snart tillbaka till denna fråga. Nästa fråga: Vad händer om ingångssignalen innehåller en sinusoid med en frekvens mellan två av grundfunktionerna Figur 9-4a visar svaret. Detta är frekvensspektrumet för en signal som består av två sinusvågor, en som har en frekvens som matchar en basfunktion och den andra med en frekvens mellan två av basfunktionerna. Som du borde förvänta dig är den första sinusvågen representerad som en enda punkt. Den andra toppen är svårare att förstå. Eftersom det inte kan representeras av ett enda prov blir det en topp med svansar som sträcker sig långt borta. Lösningen Multiplicera signalen med ett Hamming-fönster innan du tar DFT, som tidigare diskuterats. Figur (b) visar att spektret ändras på tre sätt genom att använda fönstret. Först är de två topparna gjorda för att likna varandra. Det här är bra. För det andra reduceras svansarna kraftigt. Detta är också bra. För det tredje reducerar fönstret upplösningen i spektret genom att topparna blir större. Det här är dåligt. I DSP-jargong ger windows ett kompromiss mellan upplösning (bredden på toppen) och spektralläckage (svansens amplitude). För att utforska de teoretiska aspekterna av detta mer detaljerat, föreställ dig en oändligt lång diskret sinusvåg med en frekvens av 0,1 samplingsfrekvensen. Frekvensspektrumet för denna signal är en oändligt smal topp, med alla andra frekvenser noll. Naturligtvis kan varken denna signal eller dess frekvensspektrum införas i en digital dator på grund av sin oändliga och oändliga natur. För att komma runt detta ändrar vi signalen på två sätt, vilka båda snedvrider det sanna frekvensspektret. Först avkortar vi informationen i signalen genom att multiplicera den med ett fönster. Exempelvis skulle ett 256-punkts rektangulärt fönster tillåta 256 punkter att behålla sitt korrekta värde medan alla övriga proverna i den oändligt långa signalen skulle sättas till ett värde av noll. På samma sätt skulle Hamming-fönstret forma de behållna proven, förutom att ställa alla punkter utanför fönstret till noll. Signalen är fortfarande oändligt lång, men endast ett begränsat antal av proverna har ett icke-nollvärde. Hur påverkar det här fönstret frekvensdomänen När två tidsdomän signaler multipliceras. motsvarande frekvensdomäner är sammansatta. Eftersom det ursprungliga spektret är en oändligt smal topp (d. v.s. en deltafunktion) är spektrumet av den fönsterade signalen spektrumet av fönstret förskjutet till toppens läge. Figur 9-5 visar hur spektraltoppen skulle visas med tre olika fönsteralternativ. Figur 9-5a är resultatet av ett rektangulärt fönster. Figurerna b och c är resultatet av att man använder två populära fönster, Hamming och Blackman (som tidigare nämnts, se vers 16-1 och 16-2 och figur 16-2a för information om dessa fönster). Såsom visas i Fig. 9-5 har alla dessa fönster försämrats det ursprungliga spektret genom att bredda toppen och lägga till svansar som består av många sidoblommor. Detta är ett oundvikligt resultat av att endast en del av den ursprungliga tidsdomänen används. Här kan vi se byten mellan de tre fönstren. Blackman har den bredaste huvudloben (dålig), men den lägsta amplitudehalen (bra). Det rektangulära fönstret har den smalaste huvudloben (bra) men de största svansarna (dåliga). Hammingfönstret sitter mellan dessa två. Notera i fig 9-5 att frekvensspektra är kontinuerliga kurvor, inte diskreta prov. Efter fönstret är tiddomännsignalen fortfarande oändligt lång, även om de flesta av proverna är noll. Detta innebär att frekvensspektret består av infin2 1-prov mellan 0 och 0,5, vilket är detsamma som en kontinuerlig linje. Detta medför på andra sätt vi behöver ändra tidsdomänssignalen så att den kan representeras i en dator: välj N-punkter från signalen. Dessa N-poäng måste innehålla alla de icke-nollpunkterna som identifieras av fönstret, men kan också innefatta vilket som helst antal nollor. Detta medför att provtagning av frekvensspektrumets kontinuerliga kurva sker. Om till exempel, om N väljs vara 1024, kommer spektrumets kontinuerliga kurva att samplas 513 gånger mellan 0 och 0,5. Om N väljs att vara mycket större än fönstlängden, kommer proverna i frekvensdomänen att vara tillräckligt nära att de kontinuerliga kurvens toppar och dalar kommer att bevaras i det nya spektrumet. Om N är samma som fönstervidden resulterar det färre antalet prover i spektret i det vanliga mönstret av toppar och dalar som blir oregelbundna svansar, beroende på varproverna faller. Detta förklarar varför de två topparna i fig 9-4a inte ser lika ut. Varje topp i fig 9-4a är en provtagning av den underliggande kurvan i fig 9-5a. Närvaron eller frånvaron av svansarna beror på var proverna tas i förhållande till topparna och dalarna. Om sinusvågen exakt matchar en basfunktion sker proverna exakt vid dalarna, vilket eliminerar svansarna. Om sinusvågen ligger mellan två basfunktioner, inträffar proverna någonstans längs topparna och dalarna, vilket resulterar i olika mönster av svansar. Detta leder oss till plattfönstret. som visas i fig 9-5d. I vissa applikationer måste amplituden hos en spektral topp mätas mycket noggrant. Eftersom DFT-frekvensspektrumet är bildat från prover finns inget som garanterar att ett prov kommer att inträffa exakt på toppen av en topp. Mer än sannolikt kommer det närmaste provet att vara något utanför mitten, vilket ger ett värde som är lägre än den sanna amplituden. Lösningen är att använda ett fönster som ger en spektral topp med en platt topp. försäkra att en eller flera av proverna alltid kommer att ha rätt toppvärde. Såsom visas i Fig. 9-5d är straffen för detta en väldigt bred huvudlob, vilket resulterar i dålig frekvensupplösning. Som det visar sig är den form vi vill ha för ett plattfönster exakt samma form som filterkärnan i ett lågpassfilter. Vi kommer att diskutera de teoretiska skälen till detta i senare kapitel för nu, här är en cookbook beskrivning av hur tekniken används. Kapitel 16 diskuterar ett lågpassfilter kallat windowed-sinc. Ekvation 16-4 beskriver hur man genererar filterkärnan (som vi vill använda som ett fönster), och Fig. 16-4a illustrerar kurvens typiska form. För att använda denna ekvation måste du veta värdet av två parametrar: M och f c. Dessa finns från relationerna: M N -2, och f c s N. där N är längden på DFT som används, och s är antalet prov du vill ha på den plana delen av toppen (vanligtvis mellan 3 och 5). Tabell 16-1 visar ett program för att beräkna filterkärnan (vårt fönster), inklusive två subtila funktioner: normaliseringskonstanten, K, och hur man undviker ett divide-by-zero-fel på mittprovet. När du använder den här metoden, kom ihåg att ett DC-värde av en i tidsdomänen kommer att ge en amplitudstopp en i frekvensdomänen. En sinusoid av amplitud en i tidsdomänen kommer emellertid bara att producera en spektral topp av amplitud hälften. (Detta diskuteras i det sista kapitlet: Syntes, Beräkning av Inverse DFT). Scientist och Engineers Guide till Digital Signal Processing av Steven W. Smith, Ph. D. Scientific and Engineers Guide till digital signalbehandling av Steven W. Smith, 11172001 Första utgåvan (inbunden) sida 2, rad 1, här - där sida 2, rad 3 exploderade - explodera sidan 2, rad. vender - leverantör sida 5, rad 12, särprägel - särskilt sidan 6, rad 18, resonera - resonanssida 7, 2: e hela stycket, rad 9, känd - vet sida 7, 3: e raden från botten, sida 9, rad 7, kriterier - kriterium sidan 13, figur 2-1b, medelvärde 3,5 - medelvärde 3,0 sid 17, tabell 2-2, programfel: dela med nollfel genererad på första loop sidan 20, fig 2 -4 bildtext, rad 4, visar - visa sidan 20, rad 1, 8 prover - 7 prover sida 21, tabell 2-3, rad 340: HI - HI sidan 22, 4 stycken, 3: e till sista raden, 0 till 255 - 0 och 255 sid 22, 4 stycke, 2: a till sista raden, histogram - pmf sidan 23, 3: e stycket, 3: e raden, 121 - 120 - 120.5 - 120.4 - (120.5 - 120.4) sidan 25, tabell 2-4, programfel: programmet hanterar inte ett värde 10,0 sida 25, tabell 2-4, rad 230. 01 - 100 sid 26, fig 2- 7 bildtext 6, 21 fack - 9 fack sida 26, rad 7, radera på sidan 28, tredje stycket, rad 10, radera andra kommer att vara sidan 29, rad 5, kommunikation n - kommunicera sidan 32, femte stycket, rad 3, har - har sidan 32, 3: e raden från botten, använd - använd sidan 39, 3: e stycket, rad 2, kontinuerlig - kontinuerlig sida 41, bildtext, rad 2, återskapas - återskapa sidan 41, rad 7, deras - sidan 42, 1: a hela stycket, rad 10, It - Om sidan 42, andra hela stycket, linje 9. 3.5 till 4.0 - 2.5 till 3.0 sid 43, rad 10, du - din sida 46, 3: e hela stycket, rad 9, visas - visar sidan 50, rad 1, använd - använd sidan 54, 2: a stycket, sista raden, avrullning , 5: e stycket, rad 10, ökning - ökar sidan 75, rad 14, make-make sidan 77, Tabell 4-4, rad 4, DS: 0 - DS: 2 sid 81, rad 9 och rad 12, personal - Personlig sida 82, 3: e stycket, 3: e raden från botten, personal - personlig sida 83, 2: a stycket, rad 7, framåt - fjärde sidan 85, 10: e raden från botten, byt till läs: sin (-x) - in (x) sidan 90, bildtext, sista raden, y2 - y1 sidan 96, andra stycket, rad 1, Figur 5-11 - Figur 5-8 sidan 99, rad 3, x1n, x2 n, x3n - x0n, x1n, x2n sidan 99, rad 6, y1n, y2n, y3n - y0n, y1n, y2n sidan 100, 3: e stycket, rad 5, Der - They sidan 101, Fig 5-13, tecknet på grafen för x27n är omvänd sida 102, rad 9, formulär - från sidan 103, andra stycket, rad 4, känd sida 103, andra stycket, rad 10, syntetiseras - syntetisera sidan 116, andra stycket , linje 1, se en - titta på en sida 120, sista raden, ekv. 6-2 - ekv. 6-1 sidan 123, rad 10, framåt - fjärde sidan 128, tabell 7-1, första skillnadsprogrammet, duplicerade linjenummer 110 sidan 128, tabell 7-1, första skillnadsprogrammet, linje 120, YI-1-XI -1 sid 128, Tabell 7-1, löpande summa program, duplicerat linjenummer 120 sid 142, stycke 3, rad 9, sinusoid-sinusformad sida 144, stycke 7, rad 10 amp 12, imaginär-föreställd sida 147, Fig. . 8-3, Frekvensdomän, sinusvågor - cosinusvågor 147, Fig. 8-3, Frekvensdomän, cosinovågor - sinusvågor 151, Fig. 8-5 bildtextlinje 3, kontinuerlig kontinuerlig sida 152 , stycke 2, rad 8, patronen - mönstersidan 160, tabell 8-2, rad 340 amp 350, XI - XXI sida 162, 2: a och 3: e linjer efter fig 8-9, ekv. 8-4 - ekv. 8-5 sid 174, bildtext, 2: a rad från botten, Blackman - Hamming sida 179, Fig 9-7d, radera vertikal linje genom figurmall sidan 182, sista raden, radera extra utrymme vid slutet av rad sidan 188, rad 5, ampPhase - amp Phase sidan 196, rad 2, visa - visad sida 202, 3: e full stycke, linje 5, kontinuerlig - kontinuerlig sida 202, 3: e full stycke, rad 6, ritning - dra sida 202, 3: e hela stycket, linje 10, minimera - minimera sidan 202, 3: e hela stycket, rad 11, freqeuncy - frekvenssidan 206, rad 9, ovanpå varandra - slutet till slutet sida 208, ekvationstextion, ekvation 10-2 - - ekvation 10-3 sidan 208, andra stycket, linje 8, 10-1 - 10-3 sidan 208, 3: e raden från botten, ekv. 10-1 - ekv. 10-3 sidan 212, 1: a fullständig paragraf, rad 1, Figur 11-4 - Figur 11-3 sid 214, rad 13, sin (pi kMN) - sin (pi kN) sid 214, rad 13, pi kMN - - pi kNpage 214, 3: e hela stycket, linje 5, sin (x) x - sin (pi x) (pi x) sidan 216, fjärde stycket: Det finns minst två andra vågformer som är deras egna Fourier-transformer funktionen och impulståget (se sidan 44) sidan 220, bildtext, sista raden, jämn sida 229, tabell 12-3, prov 6: 0100 - 0110 sidan 234, första raden, radera av dessa sidor 239, första raden, signaler - signalsida 240, rad 10, kapitel 6 - kapitel 5 sidan 245-259, rubrik av udda sidor, kontinuerlig - kontinuerlig sida 274, bild 14-8, bildtext 1, utkastning - designa sida 274, 2: e hela stycket, rad 78, bandpass - bandstoppsidan 275, Fig 14-9, bildtextlinje 1, Konstruktionssida 278, rad 5, 11 - 10 sida 284, tabell 15-2 , linje 250, Y0 - Y0 sidan 284, tabell 15-2, linje 300, ACC-ACC101 sid 288, Fig. 16-3b, är etiketterna för Hamming och Blackman omvända sidan 304, 2: a hela stycket, sista raden, tillåta sida 305, tabell 17-5, bildtext, rad 4, (b) dividerad med (d) - (d) delad med (b) sidan 309, Fig. 17-9c, Weiner - Wiener sidan 315, bildtext, rad 2, (d) amp (e) - (e) amp (f) sidan 329, Fig. 19-7a, saknar högra siffran på y-axel etikettsidan 341, tabell 20-5, rad 1390, - K2 - - (K2) sidan 360, linje 5, utvändigt till insidan - inuti till utsidan 362, linje 2, 14 bitar - 15 bitars sida 365, ledning 4 och linje 5 från botten, format - formant pate 366 linje 13, format - formant sidan 369, bild 22-10 bildtext 3, visar - visa den sidan 370, 4: e hela stycket, rad 2, logg (xy) - logg (xy) sidan 371, rad 3, a - a. sidan 372, sista raden, bearbetad bearbetad sida 374, rad 8, personal - personlig sida 390, andra stycket, rad 4, 175 - 150 sid 405, fig. 24-6, etikett i figur, vertikal sidan 405, figur 24-6, etikett i figur, horzr - horzc sidan 407, tredje stycket, linje 1, varje dag - varje sida 440, rad 9, exakt en - - noll eller en sida 449, bildtext, Figur 25-20 - Figur 25-19 sida 449, ekv. 25-2, 4pi2 - -4pi2 sidan 469, rad 1050, numret 1060 i slutet ska vara nästa radnummer sidan 469, Tabell 26-3, rad 3040, FÖR INGÅNG NODER - FÖR HIDDEN LAYER sidan 469, Tabell 26-3, rad 3140, FÖR HIDDEN NODES - FÖR UTGÅNG LAGER sidan 475, Bild 26-12 bildtext 9, är en punkt - är en punktsidan 493, Fig. 27-8 bildtextlinje 2, STRING bör var i kursiv sida 507, Fig. 28-2, M sqr (85) - M sqr (40) sidan 509, fjärde stycket, rad 5, med användning av - Använd sidan 511, bild 28-3 bildtextlinje 7 - tillåter sida 512, rad 7, M amp theta - M amp Phi sidan 513, 5: e hela stycket, rad 7, 2.1213 - - 2.1213 sidan 513, 5: e hela stycket, linje 8, - j 2.1213 - j 2.1213 sida 513, 5: e hela stycket, linje 10, - 0,5740 - 0,5740 sida 513, 5: e hela stycket, linje 11, j 0,5740 - - j 0,5740 sida 514, Fig. 28-4, 2,123 - - 2,123 sid 514, Fig. 28-4, - j 2.1213 - j 2.1213 sidan 514, fig 28-4, j 0,4619 - - j 0,4619 sidan 514, fig 28-4, - 0,5740 - 0,5740 sida 514, fig 28-4, j 0,5740 - - j 0,5740 sidan 514, 1: a full stycke, linje 2, j 0.4619 - - j 0.4619 sida 514, 1: a full stycke, linje 5, 0.4619 - -0.4619 sidan 521, ekv. 29-3 i cos ekvation, - e (-jx) - e (-jx) sidan 522, rad 3, krävs - kräver sidan 525, ekv. 29-8 bildtext 2, ekv. 21-7 - ekv. 29-7 sidan 525, ekv. 29-8, knN j sin - knN j sin sida 525, ekv. 29-8, knN j cos - knN - j cos sidan 529, 9. Skalning - 8. Skalningssida 529, 10. Variationer - 9. Variationer sidan 545, 2: a fullparag. linje 1, det sista kapitlet - kapitel 28 sid 549, bildtext, bild 30-6 - bild 30-7 sidan 551, bild 30-8 bildtext, sista kapitlet - kapitel 28 sid 552, tredje stycket, rad 1, Figur 30-7 - Figur 30-9 sida 554, 2: a full stycke, linje 4, realtänkande sida 555, rad 4, imaginär axel - reell axel sida 558, ekvationen 6 linjer från botten, yn rn-yn r (-n) sidan 559, fig 31-1a, b, c (byte på 3 ställen), yn rn - yn r (-n) sidan 559, fig 31-1a, r 0,9 - - r 1.1 sida 559, Fig. 31-1c, r 1.1 - r 0,9 sida 559, rad 2, ändra till läs: kommer att minska om r1, och öka om rlt1. sidan 559 ska ekvationen efter rad 5 läsa: r (-n) e (ln (r) (- n) e (-n ln (r)) e (-sigma n) där: sigma ln (r) sidan 559, bottenekvationen ska läsa: x (r, omega) xn r (-n) e (-j omega n) sidan 560, toppräkning, bör läsa: zre (j omega) sid 561, punkt 2, rad 6, måste mellan - - måste vara mellan sida 560, 2: e hela stycket, rad 6, är det här - på den här sidan 564, rad 3, dela - multiplicera sidan 564, 4 stycken, rad 8, metoder kan inte - metoder generellt inte kan sida 564, rad 14, s-domän-z-domän sidan 571, täljare av höger hälsa av ekvationen, wz yz-wz xy sidan 577, Fig 31-7, rad 340, Fig 23-8 - Fig 31-8 sidan 578, tredje stycket, sista raden, H (s) - Hz sida 578, 3: a raden från botten, 0 till pi radianer sekund - 0 till oändlighet radans sekund sidan 622, Under Fourier Transform, byt diskret Time Fourier-serie till diskret tid Fourier omvandla andra utgåvan (softcover och elektroniska pdf-filer) sidan 2, rad 6, vänder-leverantör sidan 5, rad 12, specificitet - särskilt ly sida 6, rad 18, resonans - resonanssida 7, 3: e rad från botten, vid - som sida 9, rad 7, kriterier - kriterium sidan 17, tabell 2-2, programfel: dela upp med nollfel genererad på första slinga sidan 20, figur 2-4 bildtext, rad 4, visar - visa sidan 20, rad 1, 8 prover - 7 prover sida 21, tabell 2-3, rad 340, HI - HI sidan 22, 4 stycke, 2: a till sista raden, histogram - pmf sidan 23, tredje stycket, tredje raden, 121 - 120 - (121 - 120) sidan 23, 3: e stycket, femte raden, 120,5 - 120,4 - (120,5 - 120,4) sida 25, Tabell 2-4, programfel: Programmet hanterar inte ett värde 10,0 sida 25, Tabell 2-4, Linje 230. 01 - 100 Sid 26, Linje 7, Ta bort på sidan 32, 3: e raden från botten, använd - - använd sidan 39, 3: e stycket, linje 2, kontinuerlig - kontinuerlig sida 41, bildtext, rad 2, återskapas - återskapa sidan 41, rad 7, deras sida 54, andra stycket, sista raden, rulla - rullning är sidan 62, femte stycket, rad 9, ökning - ökar sidan 77, tabell 4-4, rad 4, DS: 0 - DS: 2 sid 81, rad 9 och linje 12, personal - personlig sida 82, 3: e stycket, 3: e linjen från botten, personal - personlig sida 85, fjärde raden från botten, ändra för att läsa: sin (-x) - in (x) sid 90, bildtext linje, y2 - y1 sidan 93, Fig. 5-6b, x-axel, B-H sid 128, Tabell 7-1, första skillnadsprogram, duplicerat linjenummer 110 sid 128, Tabell 7-1, första skillnadsprogram , linje 120, YI-1 - XI-1 sid 128, Tabell 7-1, löpande summa-program, duplicerat linjenummer 120 sid 162, 2: a och 3: e linjer efter Fig 8-9, ekv. 8-4 - ekv. 8-5 sidan 174, bildtext, andra raden från botten, Blackman - Hamming sida 206, bildtext för ekv. 10-1, lägg till sista raden mellan 0 och pi. sidan 214, rad 13, sin (pi kMN) - sin (pi kN) sidan 214, rad 13, pi kMN - pi kN sidan 220, bildtext, sista raden, jämn sida 234, första raden, radering av Sidan 239, första raden signaler - Signalsida 240, Linje 10, Kapitel 6 - Kapitel 5 sida 278, Linje 5, 11 - 10 sida 284, Tabell 15-2, Linje 250, Y0 - Y0 sid 284 , tabell 15-2, linje 300, ACC-ACC101 sid 288, Fig. 16-3b, är etiketterna för Hamming och Blackman omvänd sida 305, Tabell 17-5, bildtext, rad 4, (b) dividerad med ) - (d) dividerad med (b) sidan 309, Fig. 17-9c, Weiner - Wiener sidan 315, bildtext, rad 2, (d) amp (e) - linje 5, utanför till insidan - inuti till utsidan 362, linje 2, 14 bitar - 15 bitars sida 365, linje 4 och linje 5 från bottenformatformatformat pate 366 linje 12, formatformaterande sida 370 , 4: e hela stycket, rad 2, logg (xy) - logg (xy) sidan 371, rad 3, lägg till. i slutet av meningen sida 371, rad 9, multiplikation - multiplikation sidan 374, rad 8, personal - personlig sida 390, 2: a stycket, rad 4, 175 - 150 sid 407, tredje stycket, rad 1, varje dag - vardagssida 440, rad 9, exakt en - - noll eller en sida 449, ekv. 25-2, 4pi2 - -4pi2 sidan 469, Tabell 26-3, rad 3040, FÖR INPUT NODER - FÖR HIDDEN LAYER sidan 469, Tabell 26-3, rad 3140, FÖR HIDDEN NODES - FÖR UTGÅNG LAGER sida 516, linje 8, 30 000 - 3000 sid 523, tabell 28-4, rad 008, pm (k12, m14) - pm (i12, m14) sid 543, 4: e hela stycket, linje 5, 29-3-29- 2 sid 543, bild 29-4 bildtext, linje 5, 29-3a - 29-2a sidan 548, 15: e linje från botten, (eko, 1 nyaste, dm) - - (eko, 1, nyast, dm) sidan 555, Fig. 30-2, M sqr (85) - M sqr (40) sidan 577, 9. Skalning - 8. Skalningssida 577, 10. Variationer - 9. Variationer sidan 590, bildtext, rad 7 , 30-5 - 32-5 sida 602, 3: e stycket, rad 4, real imaginär sida 603, rad 4, imaginär axel - reell axel sida 606, ekvationen 6 linjer från botten, yn rn - yn r (-n) sidan 607, Fig. 33-1a, b, c (ändring i 3 ställen), yn rn - - yn r (-n) sidan 607, Fig. 33-1a, r 0,9 - r 1,1 sida 607, Fig. 33-1c, r 1.1 - r 0,9 sida 607, rad 2, ändra till läs: kommer att minska om r1, och öka om rlt1. sidan 607, ekvation efter rad 5 ska läsa: r (-n) e (ln (r) (- n) e (-n ln (r)) e (-sigma n) där: sigma ln (r) sidan 607, bottenekvationen ska läsa: x (r, omega) xn r (-n) e (-j omega n) sidan 608, toppräkning, bör läsa: zre (j omega) sidan 608, punkt 2, rad 6, måste mellan - - måste vara mellan sida 612, rad 3, dela - multiplicera sida 612, rad 13, s-domän - z-domän sida 612, fjärde stycket, rad 8, metoder kan inte - metoder generellt inte kan sida 619, räknaren till höger hälften av ekvationen, wz yz - wz xy sidan 626, tredje raden från botten, 0 till pi radianer sekund - 0 till oändlighet radianer sekund sidan 631, sidhuvud, Studiehandbok - Ordlista sida 645-650, rubrik, Ordlista - Index sida 646, Under Fourier Transform, change discrete time Fourier series to discrete time Fourier transformComputational tools Analogously, DataFrame has a method cov to compute pairwise covariances among the series in the DataFrame, also excluding NAnull values. Assuming the missing data are missing at random t his results in an estimate for the covariance matrix which is unbiased. För många tillämpningar kan dock denna uppskattning inte vara acceptabel eftersom den uppskattade kovariansmatrisen inte är garanterad att vara positiv halvt bestämd. Detta kan leda till uppskattade korrelationer med absoluta värden som är större än en, eller en icke-inverterbar kovariansmatris. Se Beräkning av kovariansmatriser för mer information. DataFrame. cov stöder också ett valfritt sökord med minperioder som anger det önskade minimala antalet observationer för varje kolumnpar för att få ett giltigt resultat. De vikter som används i fönstret anges av wintype-sökordet. Listan över erkända typer är: boxcar triang blackman hamming bartlett parzen bohman blackmanharris nuttall barthann kaiser (behöver beta) gaussian (behöver std) generalgaussian (behöver kraft, bredd) slepian (behöver bredd). Observera att rutan är lika med medelvärdet (). För vissa fönsterfunktioner måste ytterligare parametrar anges: För. sum () med en wintype. Det finns ingen normalisering gjord till vikterna för fönstret. Passande anpassade vikter av 1, 1, 1 ger ett annat resultat än passande vikter på 2, 2, 2. till exempel. När man passerar en vinstyp i stället för att uttryckligen specificera vikterna, är vikterna redan normaliserade så att den största vikten är 1. I motsats är naturen av. mean () beräkningen sådan att vikterna normaliseras i förhållande till varandra. Vikter av 1, 1, 1 och 2, 2, 2 ger samma resultat. Time-aware Rolling New i version 0.19.0. Nytt i version 0.19.0 är förmågan att skicka en förskjutning (eller konvertibel) till en. rolling () - metod och få den att producera fönster med variabel storlek baserat på det löpande tidsfönstret. För varje tidpunkt inkluderar detta alla föregående värden som uppträder inom det angivna tids deltaet. Detta kan vara särskilt användbart för ett icke-regelbundet tidsfrekvensindex. Detta är ett vanligt frekvensindex. Med hjälp av ett heltal fönster arbetar parametern att rulla längs fönstervycket. Att ange en förskjutning medger en mer intuitiv specifikation av rullfrekvensen. Med ett icke-regelbundet, men fortfarande monotoniskt index, ger det inte någon särskild beräkning med att rulla med ett heltal. Genom att använda tidsspecifikationen skapas variabla fönster för denna sparsamma data. Dessutom tillåter vi nu en valfri parameter för att ange en kolumn (snarare än indexets standard) i en DataFrame. Time-aware Rolling vs Resampling Användning. rolling () med ett tidsbaserat index är ganska likt resampling. De opererar och utför reduktiva operationer på tid indexerade pandasobjekt. När du använder. rolling () med en förskjutning. Förskjutningen är ett tids-delta. Ta ett fönster i bakåt-i-tiden och summera alla värden i det fönstret (inklusive slutpunkten, men inte startpunkten). Detta är det nya värdet på den tiden i resultatet. Dessa är fönster med variabel storlek i tidrymden för varje punkt i ingången. Du får samma resultat som ingången. Vid användning av. resample () med en förskjutning. Konstruera ett nytt index som är offsetens frekvens. För varje frekvensfack pekar aggregat från inmatningen i ett bakåtblickande fönster som faller i facket. Resultatet av denna aggregering är utgången för den frekvenspunkten. Fönstren är fast storlek i frekvensutrymmet. Ditt resultat kommer att ha formen av en vanlig frekvens mellan min och max för det ursprungliga inmatningsobjektet. För att sammanfatta. rullande () är en tidsbaserad fönsteroperation, medan. resample () är en frekvensbaserad fönsteroperation. Centrering av Windows Som standard är etiketterna inställda i den högra kanten av fönstret, men ett centralsökord är tillgängligt så att etiketterna kan ställas in i mitten. Binära fönsterfunktioner cov () och corr () kan beräkna flyttningsfönsterstatistik om två serier eller någon kombination av DataFrameSeries eller DataFrameDataFrame. Här är beteendet i varje fall: två serier. beräkna statistiken för parningen. DataFrameSeries. beräkna statistiken för varje kolumn i DataFrame med den överförda serien och returnerar därmed en DataFrame. DataFrameDataFrame. Beräkna statistiken för att matcha kolumnnamn som standard, och returnera en DataFrame. Om sökordsargumentet pairwiseTrue passeras beräknar du statistiken för varje par kolumner och returnerar en panel vars objekt är aktuella datum (se nästa avsnitt). Rullande parvisa kovarianer och korrelationer I finansiell dataanalys och andra områden är it8217s vanliga för att beräkna kovarians - och korrelationsmatriser för en samling av tidsserier. Ofta är man också intresserad av kovarians - och korrelationsmatriser i rörfönstret. Detta kan göras genom att passera det parvisa sökordsargumentet, vilket i fallet med DataFrame-ingångar kommer att ge en panel vars föremål är aktuella datum. I fallet med ett enda DataFrame-argument kan det parvisa argumentet utelämnas: Missande värden ignoreras och varje post beräknas med de parvisa fullständiga observationerna. Se covariansektionen för försiktighetsåtgärder i samband med denna metod för beräkning av kovarians - och korrelationsmatriser. Förutom att inte ha en fönsterparameter har dessa funktioner samma gränssnitt som deras. rolling motsvarigheter. Som ovan är parametrarna alla accepterar: minperiod. tröskeln för icke-nollpunktspunkter att kräva. Standardvärden som behövs för att beräkna statistik. Inga NaNs kommer att matas ut när minperiods icke-nollpunktspunkter har visats. Centrum. booleska, om du vill ställa in etiketterna i mitten (standard är False). Utgången från. rolling och. expanding-metoderna returnerar inte en NaN om det finns minst minvärden icke-nullvärden i det aktuella fönstret. Detta skiljer sig från cumsum. cumprod. cummax. och cummin. som returnerar NaN i utgången varhelst en NaN uppträder i ingången. En expanderande fönsterstatistik kommer att vara stabilare (och mindre mottaglig) än dess rullande fönster motsvarighet, eftersom den ökande fönstermåttet minskar den relativa effekten av en enskild datapunkt. Som exempel är här den genomsnittliga () - utmatningen för den tidigare tidsserien dataset: Exponentiellt viktad Windows En relaterad uppsättning funktioner är exponentiellt viktade versioner av flera av ovanstående statistik. Ett liknande gränssnitt för. rolling och. expanding nås via. ewm-metoden för att ta emot ett EWM-objekt. Ett antal expanderande EW (exponentiellt viktade) metoder tillhandahålls: